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真空中的光速是299792458m/s，胡夫金字塔所在的纬度是29.9792458°N，这真的只是个巧合吗？ 撰文 Jonathan Kujawa 翻译 刘卓 审校 丁家琦
人类天生就有总结规律的本领。毫无疑问，这一点在人类原始生活中十分重要。例如，部落里的两个人在吃了某种灌木的紫色浆果后感觉强烈的不适，那么部落成员在今后就会注意，避免再次吃到同样的浆果。因此，原始进化促使我们迅速推断得到规律，“宁求稳妥，以免后悔”，这种本领使我们在遇到紧急情况时不需要大样本的双盲、随机试验就可以迅速做出反应。 译者注：双盲试验指测验者与被测验者都不知道被测验者所属的组别（对照组或实验组）。当数据全部记录完毕后（甚至有时数据全部分析完毕后），测验者才知道被测验者的组别[1]。 敏锐的洞察力有助于我们分辨哪些是随机现象，而哪些不是。这种本领对我们既有利又有弊。首先是有利的方面，例如皮克（Pick）正是凭借一双敏锐的眼睛，才发现了存在于点阵中的美丽的数学公式——皮克定理。 译者注：皮克定理（Pick’s theorem）：点阵中顶点在格点上的多边形面积A = i b/2–1。其中，i为多边形内部的点数，b为多边形边界上的点数[3]。 举个更简单的例子，让我们先写下斐波那契数列的前几个数字： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,.... 只需很短的时间，我们就能发现这些数字是如何产生的。如果给我们再多一点的时间，我们甚至可以推测出哪些数字是偶数，哪些是奇数（如果智商捉急——见文末咯[4]）。 那么现在，假设我们有两枚硬币A和B，将它们分别抛掷21次后得到： 硬币A：反反反反正反反正正反反正反反反反正正正反反 硬币B：正反反正反反正反反正反反正反反正反反正反反 在该实验中，假设两枚硬币完全相同且材质均匀，投掷者在抛硬币时没有做任何手脚，并且如实记录了数据。我们擅长寻找规律的大脑就会立刻注意到硬币B的投掷结果有一定的规律性。这种规律违背了我们对“随机”投掷硬币应有结果的认识，因为数学上，我们认为投掷硬币出现正反面的可能性是相同的。但在这种情况下，即使是最严谨的数学家，都会倾向性地认为硬币B在下一次投掷时会出现正面的结果。 关于投掷硬币，还有一个有趣的实验。如何识别真正的随机和人造的“随机”？一位老师在第一天教学时，让学生产生两组硬币正反面序列（每组100个）：一组数据由实际投掷得到，另一组手写得到。尽管学生在做该实验时老师不在身边，但老师总是可以分辨出两组数据是如何得到的，只要寻找是否有连续出现的正面、反面，或者其它特殊的序列（像上面提到的硬币B的结果）即可。如果是实际投掷硬币，尽管每次得到正反面的可能性相同，但在实验次数较少的情况下（例如100次），很可能会出现若干次连续正面的结果。而在“伪造”投硬币的正反面结果时，大脑如果发现了这一现象会立刻否决，然后绞尽脑汁产生一组假的看似“随机”的序列（正反面出现次数大致相同）。 事实上，我们的大脑也不全是错的，在我们身边确实会存在一些奇妙的现象。强大数定律指出，对于随机独立事件（例如掷硬币），多次重复试验的平均值会与实际平均值非常接近。对于掷硬币而言，如果我们把得到正面记为–1，反面记为 1，那么大量实验后的平均值应该接近0。这样来看，在一开始提到的试验中，硬币A和B都没有被投掷足够多次。硬币A和硬币B均产生了7次正面和14次反面，因此平均数为7/21=1/3。即使我们不会恼怒地立即掀了桌子，也难免会对硬币的材质产生怀疑的态度。 问题在于，我们的大脑有点太过于擅长识别规律了，没有什么比一连串巧合背后的阴谋论更吸引我们的了。忠实的读者此时大概会想到著名的拉姆齐定理（Ramsey's Theorem），这个定理表示，如果我们拥有足够多的数据，那么规律性的格局或结构就是不可避免的问题。那么问题来了，胡夫金字塔的所在的纬度29.9792458° N和真空中的光速299,792,458 m/s是不是一个巧合呢？（答案：是）。 译者注：拉姆齐定理的通俗表述为6个人中至少有3人相互认识或不认识[5]。 对于识别规律中这些大胆的思维跳跃，数学家理查德·盖伊（Richard Guy）提出了“强小数定律”（Strong Law of Small Numbers，简写为LSN），以此提醒人们：那些“规律”其实只是个巧合。 没有足够多的小数来满足所有的限制条件。 ——理查德·盖伊（Richard Guy） 拉姆齐定理向我们展示了如果拥有足够多的数据就会存在一定的规律，小数定律则告诉我们，即使拥有很少的数据也会存在一些巧合。例如：你一定能在纽约找出两个人来，他们拥有的头发数目相同。这并不是由于某些深邃神秘的联系，而仅仅是由于纽约人口的数量远远超过了头发可能的数量。 盖伊以一种先提出问题、最后给出答案的轻松娱乐方式介绍了小数定律[6,7]。他一共给出了80个例子，大部分例子有一个共性——看似遵循某种规律，但其实只是个巧合。当然，盖伊也没有让读者完全失望，其中一小部分例子还是有规律的。正如盖伊提醒大家的——小数定律是数学发现永恒的敌人，它用一些例外粉碎了那些看似合理的结论和基于巧合得到的粗心的猜想。 有时，最聪明的人也会上这些巧合的当。例如：我们知道如果2^(k–1)是素数，那么指数k也必须是素数。费马提出：那对于这样的数字（后来称为费马数）有没有什么规律可循呢？ 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617,... 译者注：2^(k–1)也称梅森素数。如果2^(k–1)是素数，那么指数k也必须是素数。 他注意到前五个数字都是素数，在小数定律的引诱下，他推测所有这样形式的数字都是素数。但在费马提出该猜想的90多年后，勤勉的欧拉挽起袖子大干一场，发现4294967297并不是素数（4294967297=641×6700417）。现在我们有了电脑，可以非常轻松地检验费马提出的这些数字是否是质数。结果显示，除了前五个数字之外，我们目前还没有找到第六个素数！关于费马数是否为素数已经成为一个非常开放的问题，我们目前还无法知道从第六个数起，它们都是合数，还是之后又变为了素数，或者是既有合数也有素数。 关于小数定律，盖伊还有很多非常好的例子。下面我们介绍另一个例子：我们知道除了2以外，其它所有的素数都是奇数，这意味着它们可以写成4k–1或4k 1的形式。在19世纪中期，切比雪夫（Chebyshev）注意到了一个奇怪的现象：如果我们累计可以写成4k–1或4k 1的素数个数，我们会发现能写成4k–1的素数个数一直保持领先地位——如下表：
但事实上，这两类素数个数是一样多的。大约50年后，利特尔伍德（Littlewood）证明了这一点，他指出如果我们不断写下去，4k–1占主导地位的现象就会发生扭转。 另一个突出的例子是著名的欧拉多项式n^2 n 41。当n为0到39的任一整数时，该多项式的结果均为素数，但当n=40时，这一规律就被打破了。同样的例子还有多项式n^2 79n 1601，该多项式的结果一直为质数，直至n=80时才打破。 关于小数定律，盖伊给出的例子不仅涵盖代数学，也包括几何学。下面截取出两个关于几何学的例子：
在上边的两个例子中，当n=0, 1, 2, 3, 4时得到的小山个数分别为1, 1, 2, 5, 14。这些数字恰恰是卡塔兰数（Catalan numbers）的前五个，因此小山个数问题可以用卡塔兰数来解决（值得一提的是，盖伊是个登山爱好者）。但是这一规律到后来就会被打破。 卡塔兰数非常出名，这是因为它被广泛地应用于数学形形色色的问题中。理查德·斯坦利（Richard Stanley）写的关于计数组合学的教科书就提到了这一点。在该书中，共有66个问题的答案是卡塔兰数。如果现在你去他的网页[8]看这本书，你会发现现在已经有207个问题的答案是卡塔兰数！ 理查德·盖伊（Richard Guy）是一名杰出的数学家，并且性格和善，风趣幽默。在《充满魅力的数学家》（Fascinating Mathematical People）一书中记录了关于他的采访（电子版参见[9]）。他今年9月底刚刚过了100岁生日。尽管他在1982年就“退休”了，但他几乎每天仍去办公室工作。他说，“我并没有退休，只是学校不再为我支付工资而已。”希望我们每个人也能像盖伊一样幸运，即使到100岁也仍然热爱自己的工作！ 参考文献： [1]https://en.wikipedia.org/wiki/Blinded_experiment [2]http://www.3quarksdaily.com/3quarksdaily/2016/11/these-days-everyone-has-an-interest-in-counting-the-uncomfortable-truth-is-sometimes-it-is-not-possible-to-obtain-an-accurat.html [3]https://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem [4]根据“奇数 偶数=奇数，奇数 奇数=偶数”这一原则，可以得到斐波那契数列为“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数…”排列。 [5]https://en.wikipedia.org/wiki/Ramsey%27s_theorem [6]https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Guy697-712.pdf [7]https://www.jstor.org/stable/pdf/2691503.pdf [8]http://math.mit.edu/~rstan/ec/ [9]http://www.math.uiuc.edu/~tondeur/Albers-2011.pdf 原文链接： http://www.3quarksdaily.com/3quarksdaily/2016/12/human-beings-have-a-talent-for-spotting-patterns-no-doubt-this-was-a-handy-skill-to-have-in-our-early-days-if-both-ug-and-o.html
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